diff --git a/src/lib/geom-engine/circle.js b/src/lib/geom-engine/circle.js
index 1749c87..0fe3120 100644
--- a/src/lib/geom-engine/circle.js
+++ b/src/lib/geom-engine/circle.js
@@ -42,3 +42,32 @@ export function angleAtVertex(a, vertex, b) {
const cosTheta = Math.max(-1, Math.min(1, dot(va, vb) / (lenA * lenB)));
return (Math.acos(cosTheta) * 180) / Math.PI;
}
+
+/**
+ * Angle of `p` as seen from the circle's center, in degrees [0, 360).
+ * @param {Circle} c @param {Vec2} p @returns {number}
+ */
+export function angleOnCircle(c, p) {
+ const deg = (Math.atan2(p.y - c.center.y, p.x - c.center.x) * 180) / Math.PI;
+ return ((deg % 360) + 360) % 360;
+}
+
+/**
+ * Measure in degrees of the arc AB that does **not** contain M — the arc an
+ * inscribed angle at M subtends. Ranges over (0, 360): it exceeds 180° when M
+ * sits on the minor arc, which is exactly the case where the inscribed angle
+ * is not half of the unsigned central angle ∠AOB.
+ *
+ * All three points are assumed to lie on `c`.
+ *
+ * @param {Circle} c @param {Vec2} a @param {Vec2} b @param {Vec2} m
+ * @returns {number}
+ */
+export function subtendedArc(c, a, b, m) {
+ const norm = (/** @type {number} */ d) => ((d % 360) + 360) % 360;
+ const angA = angleOnCircle(c, a);
+ const sweepToB = norm(angleOnCircle(c, b) - angA);
+ const sweepToM = norm(angleOnCircle(c, m) - angA);
+ // M inside the A→B sweep means the subtended arc is the complementary one.
+ return sweepToM > 0 && sweepToM < sweepToB ? 360 - sweepToB : sweepToB;
+}
diff --git a/src/lib/geom-engine/circle.test.js b/src/lib/geom-engine/circle.test.js
index 9192d59..ae0d71d 100644
--- a/src/lib/geom-engine/circle.test.js
+++ b/src/lib/geom-engine/circle.test.js
@@ -1,6 +1,6 @@
import { describe, expect, it } from 'vitest';
import { vec } from './vec.js';
-import { angleAtVertex, circle, pointOnCircle, projectToCircle } from './circle.js';
+import { angleAtVertex, circle, pointOnCircle, projectToCircle, subtendedArc } from './circle.js';
describe('pointOnCircle', () => {
it('places 0° at +x', () => {
@@ -59,3 +59,46 @@ describe('angleAtVertex', () => {
expect(inscribed).toBeCloseTo(central / 2, 1);
});
});
+
+describe('subtendedArc', () => {
+ const c = circle(0, 0, 10);
+ const at = (/** @type {number} */ deg) => pointOnCircle(c, deg);
+
+ it('M on the major arc subtends the minor arc', () => {
+ // A at 150°, B at 30° — the minor arc AB measures 120°.
+ expect(subtendedArc(c, at(150), at(30), at(270))).toBeCloseTo(120);
+ });
+
+ it('M on the minor arc subtends the major arc', () => {
+ for (const mDeg of [45, 90, 120]) {
+ expect(subtendedArc(c, at(150), at(30), at(mDeg))).toBeCloseTo(240);
+ }
+ });
+
+ it('swapping A and B gives the same arc', () => {
+ const arcAB = subtendedArc(c, at(150), at(30), at(270));
+ const arcBA = subtendedArc(c, at(30), at(150), at(270));
+ expect(arcBA).toBeCloseTo(arcAB);
+ });
+
+ it('the inscribed angle is half the subtended arc, everywhere on the circle', () => {
+ const a = at(150);
+ const b = at(30);
+ for (let mDeg = 0; mDeg < 360; mDeg += 7) {
+ const m = at(mDeg);
+ // Skip the two positions where the inscribed angle is undefined.
+ if (Math.abs(mDeg - 150) < 1e-9 || Math.abs(mDeg - 30) < 1e-9) continue;
+ expect(angleAtVertex(a, m, b)).toBeCloseTo(subtendedArc(c, a, b, m) / 2, 6);
+ }
+ });
+
+ it('holds for a second, asymmetric chord', () => {
+ const a = at(10);
+ const b = at(200);
+ for (let mDeg = 0; mDeg < 360; mDeg += 11) {
+ const m = at(mDeg);
+ if (Math.abs(mDeg - 10) < 1e-9 || Math.abs(mDeg - 200) < 1e-9) continue;
+ expect(angleAtVertex(a, m, b)).toBeCloseTo(subtendedArc(c, a, b, m) / 2, 6);
+ }
+ });
+});
diff --git a/src/lib/lessons/goc-noi-tiep/copy.vi.js b/src/lib/lessons/goc-noi-tiep/copy.vi.js
index a740f9b..5148156 100644
--- a/src/lib/lessons/goc-noi-tiep/copy.vi.js
+++ b/src/lib/lessons/goc-noi-tiep/copy.vi.js
@@ -5,13 +5,15 @@ export const vi = {
title: 'Góc nội tiếp',
gradeLabel: 'Lớp 9',
intro:
- 'Định lý góc nội tiếp nói rằng: khi M chạy trên cùng một cung của đường tròn, góc nội tiếp ∠AMB không đổi và bằng nửa góc ở tâm cùng chắn cung. Hãy kéo điểm M trên đường tròn để tự kiểm chứng.',
+ 'Định lý góc nội tiếp nói rằng: khi M chạy trên cùng một cung của đường tròn, góc nội tiếp ∠AMB không đổi và bằng nửa số đo cung bị chắn. Hãy kéo điểm M trên đường tròn để tự kiểm chứng — chú ý số đo cung đổi khi M vượt qua A hoặc B.',
instruction: 'Kéo điểm M (đỏ) quanh đường tròn — hoặc dùng phím mũi tên',
inscribedLabel: 'Góc nội tiếp ∠AMB',
- centralLabel: 'Góc ở tâm ∠AOB',
+ arcLabel: 'Cung bị chắn AB',
+ relationOk: 'Góc nội tiếp = nửa cung bị chắn',
+ undefinedLabel: 'Chưa xác định — M đang trùng với A hoặc B',
theoremTitle: 'Định lý',
theoremStatement:
- 'Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.',
+ 'Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn. Khi M nằm trên cung lớn, cung bị chắn là cung nhỏ AB và góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm ∠AOB; khi M nằm trên cung nhỏ, cung bị chắn là cung lớn (> 180°).',
exampleTitle: 'Ví dụ',
exampleBody:
'Cho đường tròn (O) với hai điểm A, B cố định sao cho góc ở tâm ∠AOB = 120°. Theo định lý, mọi điểm M nằm trên cung lớn AB đều cho ∠AMB = 60° (= 120° / 2). Khi M chuyển sang cung nhỏ, ∠AMB = 120° vì khi đó góc nội tiếp chắn cung lớn (240°), một nửa của nó là 120°. Hãy kéo điểm M để kiểm tra.',
diff --git a/src/routes/hinh-hoc/goc-noi-tiep/+page.svelte b/src/routes/hinh-hoc/goc-noi-tiep/+page.svelte
index 128c025..94ba4cd 100644
--- a/src/routes/hinh-hoc/goc-noi-tiep/+page.svelte
+++ b/src/routes/hinh-hoc/goc-noi-tiep/+page.svelte
@@ -2,7 +2,14 @@
import { base } from '$app/paths';
import { t } from '$lib/i18n/index.js';
import { vi as m } from '$lib/lessons/goc-noi-tiep/copy.vi.js';
- import { circle, pointOnCircle, projectToCircle, angleAtVertex } from '$lib/geom-engine/circle.js';
+ import {
+ circle,
+ pointOnCircle,
+ projectToCircle,
+ angleAtVertex,
+ subtendedArc,
+ } from '$lib/geom-engine/circle.js';
+ import { dist, EPSILON_LEN } from '$lib/geom-engine/vec.js';
import { draggable } from '$lib/actions/draggable.svelte.js';
const copy = t();
@@ -16,7 +23,16 @@
let M = $state(pointOnCircle(C, 270));
const inscribed = $derived(angleAtVertex(A, M, B));
- const central = $derived(angleAtVertex(A, C.center, B));
+
+ // The arc AB that M does NOT sit on — the arc ∠AMB actually subtends. It is
+ // the major arc (> 180°) whenever M is on the minor arc, which is why the
+ // fixed central angle ∠AOB alone does not describe the relationship.
+ const arc = $derived(subtendedArc(C, A, B, M));
+
+ // ∠AMB degenerates when M reaches either endpoint of the chord.
+ const atEndpoint = $derived(
+ dist(M, A) < EPSILON_LEN || dist(M, B) < EPSILON_LEN
+ );
/** @param {{x: number, y: number}} p */
const projector = (p) => projectToCircle(p, C);
@@ -52,9 +68,18 @@