fix(goc-noi-tiep): report the subtended arc, not the unsigned central angle

The readout showed the angle AOB, which does not change as M moves, so the
page contradicted its own theorem whenever M sat on the minor arc: the
inscribed angle read 120 degrees against a central angle of 120. It now
shows the measure of the arc that M does not lie on, so the inscribed angle
is half of it wherever M is. The inscribed angle is also marked undefined
when M reaches either end of the chord instead of reading zero.

src/lib/geom-engine/circle.js

@@ -42,3 +42,32 @@ export function angleAtVertex(a, vertex, b) {
   const cosTheta = Math.max(-1, Math.min(1, dot(va, vb) / (lenA * lenB)));
   return (Math.acos(cosTheta) * 180) / Math.PI;
 }
+
+/**
+ * Angle of `p` as seen from the circle's center, in degrees [0, 360).
+ * @param {Circle} c @param {Vec2} p @returns {number}
+ */
+export function angleOnCircle(c, p) {
+  const deg = (Math.atan2(p.y - c.center.y, p.x - c.center.x) * 180) / Math.PI;
+  return ((deg % 360) + 360) % 360;
+}
+
+/**
+ * Measure in degrees of the arc AB that does **not** contain M — the arc an
+ * inscribed angle at M subtends. Ranges over (0, 360): it exceeds 180° when M
+ * sits on the minor arc, which is exactly the case where the inscribed angle
+ * is not half of the unsigned central angle ∠AOB.
+ *
+ * All three points are assumed to lie on `c`.
+ *
+ * @param {Circle} c @param {Vec2} a @param {Vec2} b @param {Vec2} m
+ * @returns {number}
+ */
+export function subtendedArc(c, a, b, m) {
+  const norm = (/** @type {number} */ d) => ((d % 360) + 360) % 360;
+  const angA = angleOnCircle(c, a);
+  const sweepToB = norm(angleOnCircle(c, b) - angA);
+  const sweepToM = norm(angleOnCircle(c, m) - angA);
+  // M inside the A→B sweep means the subtended arc is the complementary one.
+  return sweepToM > 0 && sweepToM < sweepToB ? 360 - sweepToB : sweepToB;
+}

src/lib/geom-engine/circle.test.js

@@ -1,6 +1,6 @@
 import { describe, expect, it } from 'vitest';
 import { vec } from './vec.js';
-import { angleAtVertex, circle, pointOnCircle, projectToCircle } from './circle.js';
+import { angleAtVertex, circle, pointOnCircle, projectToCircle, subtendedArc } from './circle.js';
 
 describe('pointOnCircle', () => {
   it('places 0° at +x', () => {
@@ -59,3 +59,46 @@ describe('angleAtVertex', () => {
     expect(inscribed).toBeCloseTo(central / 2, 1);
   });
 });
+
+describe('subtendedArc', () => {
+  const c = circle(0, 0, 10);
+  const at = (/** @type {number} */ deg) => pointOnCircle(c, deg);
+
+  it('M on the major arc subtends the minor arc', () => {
+    // A at 150°, B at 30° — the minor arc AB measures 120°.
+    expect(subtendedArc(c, at(150), at(30), at(270))).toBeCloseTo(120);
+  });
+
+  it('M on the minor arc subtends the major arc', () => {
+    for (const mDeg of [45, 90, 120]) {
+      expect(subtendedArc(c, at(150), at(30), at(mDeg))).toBeCloseTo(240);
+    }
+  });
+
+  it('swapping A and B gives the same arc', () => {
+    const arcAB = subtendedArc(c, at(150), at(30), at(270));
+    const arcBA = subtendedArc(c, at(30), at(150), at(270));
+    expect(arcBA).toBeCloseTo(arcAB);
+  });
+
+  it('the inscribed angle is half the subtended arc, everywhere on the circle', () => {
+    const a = at(150);
+    const b = at(30);
+    for (let mDeg = 0; mDeg < 360; mDeg += 7) {
+      const m = at(mDeg);
+      // Skip the two positions where the inscribed angle is undefined.
+      if (Math.abs(mDeg - 150) < 1e-9 || Math.abs(mDeg - 30) < 1e-9) continue;
+      expect(angleAtVertex(a, m, b)).toBeCloseTo(subtendedArc(c, a, b, m) / 2, 6);
+    }
+  });
+
+  it('holds for a second, asymmetric chord', () => {
+    const a = at(10);
+    const b = at(200);
+    for (let mDeg = 0; mDeg < 360; mDeg += 11) {
+      const m = at(mDeg);
+      if (Math.abs(mDeg - 10) < 1e-9 || Math.abs(mDeg - 200) < 1e-9) continue;
+      expect(angleAtVertex(a, m, b)).toBeCloseTo(subtendedArc(c, a, b, m) / 2, 6);
+    }
+  });
+});

src/lib/lessons/goc-noi-tiep/copy.vi.js

@@ -5,13 +5,15 @@ export const vi = {
   title: 'Góc nội tiếp',
   gradeLabel: 'Lớp 9',
   intro:
-    'Định lý góc nội tiếp nói rằng: khi M chạy trên cùng một cung của đường tròn, góc nội tiếp ∠AMB không đổi và bằng nửa góc ở tâm cùng chắn cung. Hãy kéo điểm M trên đường tròn để tự kiểm chứng.',
+    'Định lý góc nội tiếp nói rằng: khi M chạy trên cùng một cung của đường tròn, góc nội tiếp ∠AMB không đổi và bằng nửa số đo cung bị chắn. Hãy kéo điểm M trên đường tròn để tự kiểm chứng — chú ý số đo cung đổi khi M vượt qua A hoặc B.',
   instruction: 'Kéo điểm M (đỏ) quanh đường tròn — hoặc dùng phím mũi tên',
   inscribedLabel: 'Góc nội tiếp ∠AMB',
-  centralLabel: 'Góc ở tâm ∠AOB',
+  arcLabel: 'Cung bị chắn AB',
+  relationOk: 'Góc nội tiếp = nửa cung bị chắn',
+  undefinedLabel: 'Chưa xác định — M đang trùng với A hoặc B',
   theoremTitle: 'Định lý',
   theoremStatement:
-    'Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.',
+    'Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn. Khi M nằm trên cung lớn, cung bị chắn là cung nhỏ AB và góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm ∠AOB; khi M nằm trên cung nhỏ, cung bị chắn là cung lớn (> 180°).',
   exampleTitle: 'Ví dụ',
   exampleBody:
     'Cho đường tròn (O) với hai điểm A, B cố định sao cho góc ở tâm ∠AOB = 120°. Theo định lý, mọi điểm M nằm trên cung lớn AB đều cho ∠AMB = 60° (= 120° / 2). Khi M chuyển sang cung nhỏ, ∠AMB = 120° vì khi đó góc nội tiếp chắn cung lớn (240°), một nửa của nó là 120°. Hãy kéo điểm M để kiểm tra.',

src/routes/hinh-hoc/goc-noi-tiep/+page.svelte

@@ -2,7 +2,14 @@
   import { base } from '$app/paths';
   import { t } from '$lib/i18n/index.js';
   import { vi as m } from '$lib/lessons/goc-noi-tiep/copy.vi.js';
-  import { circle, pointOnCircle, projectToCircle, angleAtVertex } from '$lib/geom-engine/circle.js';
+  import {
+    circle,
+    pointOnCircle,
+    projectToCircle,
+    angleAtVertex,
+    subtendedArc,
+  } from '$lib/geom-engine/circle.js';
+  import { dist, EPSILON_LEN } from '$lib/geom-engine/vec.js';
   import { draggable } from '$lib/actions/draggable.svelte.js';
 
   const copy = t();
@@ -16,7 +23,16 @@
   let M = $state(pointOnCircle(C, 270));
 
   const inscribed = $derived(angleAtVertex(A, M, B));
-  const central = $derived(angleAtVertex(A, C.center, B));
+
+  // The arc AB that M does NOT sit on — the arc ∠AMB actually subtends. It is
+  // the major arc (> 180°) whenever M is on the minor arc, which is why the
+  // fixed central angle ∠AOB alone does not describe the relationship.
+  const arc = $derived(subtendedArc(C, A, B, M));
+
+  // ∠AMB degenerates when M reaches either endpoint of the chord.
+  const atEndpoint = $derived(
+    dist(M, A) < EPSILON_LEN || dist(M, B) < EPSILON_LEN
+  );
 
   /** @param {{x: number, y: number}} p */
   const projector = (p) => projectToCircle(p, C);
@@ -52,9 +68,18 @@
       <p class="text-slate-700 leading-relaxed">{m.intro}</p>
     </header>
 
-    <section class="mb-2 flex items-baseline justify-between gap-3 text-sm tabular-nums" aria-live="polite">
-      <span><strong style="color:#D7263D">{m.inscribedLabel}:</strong> {inscribed.toFixed(1)}°</span>
-      <span><strong style="color:#1B998B">{m.centralLabel}:</strong> {central.toFixed(1)}°</span>
+    <section class="mb-2 text-sm tabular-nums" aria-live="polite">
+      {#if atEndpoint}
+        <p class="text-slate-500">{m.undefinedLabel}</p>
+      {:else}
+        <div class="flex items-baseline justify-between gap-3">
+          <span><strong style="color:#D7263D">{m.inscribedLabel}:</strong> {inscribed.toFixed(1)}°</span>
+          <span><strong style="color:#1B998B">{m.arcLabel}:</strong> {arc.toFixed(1)}°</span>
+        </div>
+        <p class="mt-1 text-slate-600">
+          {m.relationOk}: {inscribed.toFixed(1)}° = {arc.toFixed(1)}° / 2
+        </p>
+      {/if}
     </section>
 
     <section class="mb-6">